Ecuaciones de segundo grado
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Cap´ıtulo 8
ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
Teniendo presente que para todo real positivo a
√a=bsi y solamente si b2=a
y debido a que
(−b)2= (−b)(−b) = b2
la proposici´on anterior se convierte en
√a= (−b) si y solamente si (−b)2=a
Ahora es posible establecer la ecuaci´on
√a=±b
lo que significa que para todo real positivo a,√atiene dos soluciones
o ra´ıces, una positiva y otra negativa.
Partiendo de la igualdad
(a±b)2=a2±2ab +b2
se debe iniciar el estudio de las ecuaciones de segundo grado con si-
tuaciones del siguiente tenor.
146 CAP´
ITULO 8. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
SITUACI´
ON PROBL´
EMICA
Hallar el per´ımetro de un lote en forma de cuadrado, si su lado
mide x+ 3 metros y el ´area es de 324 metros cuadrados.
Para calcular el lado se debe dar soluci´on a la ecuaci´on
(x+ 3)2= 324
Tomando ra´ıces a ambos lados
(x+ 3) = ±18
Como el ´area es una funci´on positiva, descartamos a −18 como ra´ız.
La soluci´on se tiene a trav´es de la ecuaci´on
x+ 3 = 18
De donde se deduce que el per´ımetro es 4(x+ 3), o sea, 72 metros.
Para estudiar la ecuaci´on
x2+bx +c= 0
donde bno es m´ultiplo de 2 o cno es un cuadrado, se escribe en la
siguiente forma:
x2+bx =−c
Para que el miembro de la derecha se convierta en un cuadrado perfec-
to es necesario agregarle el t´ermino b2
4. Para que la igualdad persista,
dicho t´ermino se agrega a ambos lados, es decir
x2+bx +b2
4=b2
4−c
Esta ecuaci´on es equivalente a
Åx+b
2ã2
=b2−4c
4
Extrayendo ra´ıces cuadradas a ambos lados
Åx+b
2ã=±√b2−4c
2
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