Juegos normales y evolucion cultural.
| Autor | Acu |
| Páginas | 23(28) |
Introducción
En el presente trabajo modelamos el concepto de evolutivamente estable que aparece en la Teoría de evolución cultural, usando la teoría de juegos. El concepto de evolutivamente estable aparece originalmente en Biología con el trabajo de J. Maynard y G.R. Price [5] "The Logic Of Animal Conflict". Este concepto nos dice que cierto tipo de características genéticas, una vez que han sido adquiridas por la mayoría de una población no puede ser invadida por un grupo pequeño con una mutación de dichas características.
En evolución cultural no hablamos de poblaciones de individuos, sino del conjunto de tipos culturales o espíritus que definen la idiocincracia de un pueblo. Entendemos por espíritu de un pueblo como los valores, ideas y creencias en un campo o actividad específica. La mentalidad de un pueblo incluye al conjunto de todos los espíritus. Existen ciertas expreciones culturales elementales que determinan al conjunto de todos los espíritus. A estas expreciones culturales elementales las llamaremos tipos culturales elementales o espíritus elementales. La población o conjunto de individuos podran tener una identificación positiva o nula en cada uno de éstos tipos culturales elementales. El conjunto de los espíritus serán tratados como seres vivos que evolucionan (ver Maynard y Szathmany [7]). Decimos que un espíritu es evolutivamente estable si no puede ser invadido por otro espíritu mutante. Por ejemplo el espíritu pacífico de ciertos pueblos resulta ser evolutivamente estable ver por ejemplo Ulate,F. en [11].
Juegos en Forma Normal
Suponemos que estamos modelando una situación donde al comportamiento de cada jugador individual se puede describir en términos de un conjunto finito de estrategias puras (las estrategias puras corresponden a los espíritus elementales). En general supondremos que existen N estrategias puras [R.sub.1],...,[R.sub.N] y es permitido que los jugadores usen estas estrategias mezcladas; ésto consiste en jugar las estrategias puras [R.sub.1],...,[R.sub.N] con algunas probabilidades preasignadas [p.sub.1],...,[p.sub.N]; con [p.sub.i] [mayor que o igual a]0 y [N.suma de (i=1)] [p.sub.i] = 1. Entonces una estrategía corresponde a un punto p en el simplex
[S.sub.N] = {p[elemento de][lR.sup.N]/[p.sub.i] [mayor que o igual a]0 y [N.suma de (i=1)] [p.sub.i] = 1}
Las esquinas del simplex [S.sub.N] son los vectores unitarios [e.sub.i] que corresponden a las estrategias puras [R.sub.i], i = 1,...,N. El conjunto [S.sub.N] consiste de las estrategias completamente mezcladas. La frontera de [S.sub.N] consiste de todo p[elemento de][S.sub.N] tal que el soporte de p : soporte (p) = {i[elemento de]{1,...,N}/[p.sub.i] > 0} es un subconjunto propio de {1,...,N}. Entonces se tiene que los puntos [e.sub.i] corresponden a los espíritus elementales y [S.sub.N] corresponde al conjunto de todos los espíritus.
Para simplificar supondremos que el juego solo envuelve dos jugadores. Para éste juego tenemos una matriz U = ([U.sub.ij]) real N x N llamada la matriz de pago del juego. El pago para la estrategia p contra la estrategia q, p,q[elemento de][S.sub.N] está dada por p.U.q = [suma de (i,j)] [U.sub.i,j] [p.sub.i] [p.sub.j]
Definición Para el juego descrito anteriormente y [??][elemento de][S.sub.N]
(a) decimos que [??] es un equilibrio de Nash si p.U.[??] [menor que o igual a] p.[??].U [atañe a todos] p[elemento de][S.sub.N]
(b) decimos que [??] es un equilibrio estricto de Nash si
p.U.[??]< [??].U. [??] [atañe a todos] p[elemento de][S.sub.N], p[desigual a][??]
Nota Todo juego en la forma normal definido por una matriz de pago U N x N admite un equilibrio de Nash.
Proposición 1.1 Sea [??][elemento de][S.sub.N] una estrategia para un juego en la forma normal con matriz de pago U N x N. Entonces
(a) [??] es un equilibrio de Nash de éste juego si y solo si existe c [elemento de]IR tal que [atañe a todos]i[elemento de]{l,...,N] [([U.sub.[??]]).sub.i] [menor que o igual a]c y [([U.sub.[??]]).sub.i] = c [atañe a todos]i[elemento de] soporte ([??]); en éste caso tenemos que c = [??].U.[??]
(b) Si [??] es un equilibrio de Nash estricto entonces [??] = [e.sub.i] con i[elemento de]{1,...,N}; es decir [??] corresponde a una estrategia pura [R.sub.i].
Prueba (a) ([??]) suponga que [([U.sub.[??]]).sub.i] = c [atañe a todos]i[elemento de] soporte ([??]) y [([U.sub.[??]]).sub.i] [menor que o igual a]c [atañe a todos]i entonces [e.sub.i].U.[??] = [([U.sub.p]).sub.i] = c [atañe a todos]i[elemento de] soporte ([??]) y así [??].U.[??] = [N.suma de (i=1)] [??] [(U [??]).sub.i] = [suma de (i[elemnto de]soporte([??]))] [[??].sub.i] [(U [??]).sub.i] = [suma de (i[elemento de]soporte([??]))] [[??].sub.i]c = c ([N.suma de (i=1)][p.sub.i]) = c x = c ; por tanto [??].U.[??] = c.
Tenemos entonces que [atañe a todos]i[elemento de]{1,...,N} [e.sub.i] x U [??] = [(U [??]).sub.i] [menor que o igual a] [p.sub.i] [??].U. [??]. Entonces si p[elemento de][S.sub.N] p = [n.suma de (i=1)] [p.sub.i] [e.sub.i]; como [p.sub.i] [mayor que o igual a]0 [atañe a todos]i se tiene que [p.sub.i]([e.sub.i].U.p) [menor que o igual a] [p.sub.i] ([??].U. [??]) y sumando sobre i tenemos [N.suma de (i=1)] [p.sub.i] [e.sub.i].U. [??][menor que o igual a] [N.suma de (i=1)] [p.sub.i] ([??].U. [??]) = ([N.suma de (i=1)] [p.sub.i]) [??].U. [??] = [??].U. [??] y así ([N.suma de (i=1)] [p.sub.i][e.sub.i]) U [??][menor que o igual a][??].U. [??]; es decir p.U. [??][menor que o igual a][??].U [??] [atañe a todos] p[elemento de][S.sub.N]; por tanto [??] es un equilibrio de Nash.
([??]) Suponga que [??][elemento de][S.sub.N] es un equilibrio de Nash. Entonces se tiene que [e.sub.i].U. [??][menor que o igual a][??].U. [??] [atañe a todos]i[elemento de]{1,..., N} y así [atañe a todos]i [([U.sub.p]).sub.i] [menor que o igual a][??].U. [??]. Probaremos que si i, j[elemento de]soporte([??]) [([U.sub.[??]]).sub.i] = [([U.sub.[??]]).sub.j]. Suponga por contradicción que [(U [??]).sub.i] > [(U [??]).sub.j]; sea [bar.p] obtenido de [??] tal que
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
donde [épsilon]>0 tal que [[??].sub.j] - [épsilon]>0 ([[??].sub.j],[[??].sub.i]>0).
Tenemos que [EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] y como [[bar.p].sub.i] [mayor que o igual a]0 [atañe a todos]i [bar.p][elemento de][S.sub.N]. Por otro lado considere:
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
Esta última desigualdad es verdadera; por tanto [??].U.[??]
(b) Suponga que [??] es un equilibrio estricto de Nash; entonces [atañe a todos]p[elemento de][S.sub.N], p[desigual a][??] se tiene que p.U. [??]
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]; esto implica que [EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]; es decir [??] corresponde a la estrategia pura [EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
Definición [??][elemento de][S.sub.N] evolutivamente estable si [atañe a todos]p[elemento de][S.sub.N] con p[desigual a][??] se tiene que p.U.([épsilon] p + (1 - [épsilon])[??]) 0 suficientemente pequeño.
Proposición 1.2
(a) [??] es evolutivamente estable si y solo si
(i) p.U. [??][menor que o igual a][??].U. [??][atañe a todos]p[elemento de][S.sub.N] (es decir [??] es un equilibrio de Nash)
(ii) si p[desigual a][??] p[elemento de][S.sub.N] y p.U. [??] = [??].U. [??] entonces p.U. p < [??].U.p
(b) Si [??] es evolutivamente estable entonces [??] es un equilibrio de Nash. Si [??] es un equilibrio estricto de Nash entonces [??] es evolutivamente estable.
Prueba (a) [??] es evolutivamente estable si y solo si para [épsilon] > 0 suficientemente pequeño
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], para [épsilon] > 0 suficientemente pequeño entonces si en ésta última desiguladad [épsilon] [flecha diestra] 0, si tiene que
(i) [??].U. [??] - p.U. [??][mayor que o igual a]0 [atañe a todos]p[elemento de][S.sub.N].
Probemos (ii) : si p[elemento de][S.sub.N] y p.U. [??] = [??].U. [??] entonces se tiene que 0 < [épsilon])([??].U.p - p.U.p) + (1 - [épsilon]) x 0 es decir [??].U.p - p.U.p > 0 y así p.U.p < [??].U.p.
Reciprocamente suponga (i) y (ii); sea p[elemento de][S.sub.N] tal que p [desigual a] [??]. Se tiene por (i) que
[??].U. [??] - p.U. [??][mayor que o igual a]0; si [??].U. p - p.U. [??]>0, como h([épsilon]) = (1 - [épsilon])([??].U. [??] - p.U. [??]) + [épsilon] ([??].U. p - p.U.p)> 0, es continua en [épsilon] y h(0) = [??].U. [??] - p.U.p > 0; existe [delta] > 0 tal que [atañe a todos] [épsilon] 00. Si [??].U. [??] - p.U. [??] = 0 se debe tener [??].U.p > p.U.p por (ii) es decir
[??].U.p - p.U.p > 0 y así [atañe a todos][épsilon] > 0 [épsilon]([??].U.p - p.U.p)> 0 lo que implica h ([épsilon])>0 [atañe a todos][épsilon].
Por lo tanto para [épsilon] > 0 suficientemente pequeño h([épsilon])>0 y entonces [??] es evolutivamente estable.
(b) La primera parte sigue de (i) de (a). Si [??] es un equilibrio estricto de Nash entonces [??] satisface (i) de (a) y satisface trivialmente (ii) de (a)...
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